什么是分形呢？考虑到此文的意图，我们无意给出它严格的定义，就我们的目的而言，一个分形就是一个图象，但这个图象有一个特性，就是无穷自相似性。什么又是自相似呢？在自然和人工现象中，自相似性指的是整体的结构被反映在其中的每一部分中。比如海岸线，常举的例子，你看它10公里的图象（曲线），和一寸的景象（曲线）是相似的，这就是自相似性。 1、koch雪花曲线
设E0为单位直线段三等分后，中间一段用与其组成等边三角形的另两边代替，得到E1对E1的4条线段的每一条重复以上做法，得到E2 ，以此方法重复，可得En当n趋于无穷，得到的极限曲线就是Koch 曲线。 2、Sierpinski三角 三角形四等分去中间小三角形所得极限图形。
3、什么是分维？ 在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。 分维的概念：我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。 一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有： a^D=b, D=logb/loga 的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。 另一方面，当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维。其实，Koch曲线的维数是1.2618……。 4、Julia集和Mandelbrot集 Julia集和Mandelbrot集是人类有史以来做出的最奇异,最瑰丽的几何图形。曾被称为“上帝的指纹”。 这个点集均出自公式:Zn+1=(Zn)^2+C,这是一个迭代公式,式中的变量都是复数。 这是一个大千世界,从他出发可以产生无穷无尽美丽图案,他是曼德勃罗特教授在二十世纪七十年代发现的。你看上图中,有的地方象日冕,有的地方象燃烧的火焰,只要你计算的点足够多,不管你把图案放大多少倍,都能显示出更加复杂的局部。这些局部既与整体不同,又有某种相似的地方,好像着梦幻般的图案具有无穷无尽的细节和自相似性。曼德勃罗特教授称此为魔鬼的聚合物。为此,曼德勃罗特在1988年获得了科学为艺术大奖。
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