二、幂级数展开法
　　从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的分析方法来求π的近似值，其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数。

Mathematica计算:

In[2]= k=20000;S1=N[4*Sum[(-1)^(n-1)/(2n-1),{n,1,k}],18]

　　Out[2]= 3.14154265358982449

　　该方法收敛速度太慢，更快的公式有：

Mathematica计算:

In[3]= k=10;

　　S2=N[4*Sum[(-1)^(n-1)*(1/2)^(2n-1)/(2n-1)+(-1)^(n-1)*(1/3)^(2n-1)/(2n-1),

　　{n,1,k}],20]

　　Out[3]=   3.14159265358979323846

　　3、数值积分方法

　　由数值积分的方法我们可以知道：

　　因此，可以利用数字积分法来计算π的近似值。

 Mathematica计算:

　　梯形法：

In[4]=  a = 0; b= 1;y[x_]:= 4/(1 + x^2)

　　n = 1000

　　pis1 = N[(b-a )/n*(Sum[y[a+i*(b-a)/n], {i,1,n-1}]+(y[a]+y[b])/2),100]

　　Out[4]= 3.1415924869231265717979608435969622546877898925997631081083727

　　31390288109790562585631933321397748830

　　辛普森公式：

　　In[5]= a = 0; b= 1;y[x_]:= 4/(1 + x^2)

　　n = 1000;

　　pis2 = N[(b-a)/6/n*((y[a]+y[b])+2*Sum[y[a+i*(b-a)/n], {i,1,n-1}] +

　　4*Sum[y[a+(i-1/2)*(b-a )/n],{i,1,n}]),100]

　　Out[5]=   3.141592653589793238462023343596963516081019055794419480210497

　　134309960210824915446285805237414852023

　　4、蒙特卡罗方法

Mathematica计算:

In[6]=  n=10000;

　　S4= Block[{i,m=0},

　　For[i=n,i>0,i--,m=m+If[Random[]^2+Random[]^2<=1,1,0]];

　　N[4*m/n,10]]

　　Out[6]=    3.1352